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一名普通得不能再普通的农村小学教师,没有什么能力,但很热爱自己的工作。总感觉——与孩子们在一起是快乐的,与家人在一起是幸福的。

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趣味数学:分油问题  

2016-09-25 21:22:07|  分类: 教育园地 |  标签: |举报 |字号 订阅

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传说有一天,刘邦手下的名将韩信,骑着马在大路上行走,见路旁有许多人在围在一起看热闹。韩信走到近前一看,原来是两个中年汉子正为分油的事着急。韩信立马相问,那两个人说:“我们有10斤油,需要平分,每人5斤。可是没有秤,只有一个装下10斤的油篓,一个可装7斤的油罐,一个能装3斤的油葫芦,折腾了半天分不开,真急死人哪!”  
       韩信听罢,笑着说道:“二位不必发愁,这非常简单,葫芦归罐罐归篓,三倒葫芦两倒罐。”  
可是,那两个人听了,并没有明白过来,只是站在那里望着 韩信发呆。韩信只好将具体分法又说了一遍,然后骑马离去。那个汉子按照韩信说的方法来分油,果然十分简单,他们很快就把油分好,各自提着油回家了。  
步数 7斤 3斤 10斤
0 0 0 10
1 7 0 3
2 4 3 3
3 4 0 6
4 1 3 6
5 1 0 9
5 0 1 9
6 7 1 2
7 5 3 2
8 5 0 5

分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题。它有很多种表述版本。例如,
版本1:日本分油问题。有一个装满油的8公升容器,另有一个5公升及3公升的空容器各一个,且三个容器都没有刻度,试将此8公升油分成4公升。.
版本2:法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题:
某人有12品脱美酒,想把一半赠人,但没有6品脱的容器,而只有一个8品脱和一个5品脱的容器,问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中。
版本3:我国的韩信分油问题:韩信遇到两个路人争执不下,原因是两人有装满10斤的油篓和两个3斤、7斤的空油篓,无法平均分出两份,每份5斤油。韩信是如何解决这个难题的?
版本4:史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述:有装有14千克酒的容器,另外有可装5千克和9千克酒的容器,要把酒平分,该如何办?
版本5:别莱利曼在《趣味几何学》中表述:一只水桶,可装12杓水,还有两只空桶,容量分别为9杓和5杓,如何把大水桶的水分成两半?
解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法。
这里将详细讨论用不定方程来解这类题的基本思路和步骤拆分。
 
(一)分析思路
我们注意到这类题有几个共同的特点:
(1)三个容器N!,N2,N按容积由小到大排列,分别为自然数N1,N2,N;得到的油M是小于N的自然数。
(2)两个较小容器的容积数N1,N2互素的(不是互素的要简单一些)。
(3)由于容器没有刻度,倒油过程中,较小容器总需要倒空或者填满。
(4)小容器倒油的次数X、Y是整数,最后需要得到的油M也是正整数。
(5)在小容器里得到数量较少的油,如容器N1得到小于等于N1的油;容器N2得到大于N1小于等于N2的油
所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。
方程列为
N2·X+N1·Y=M
其中,N=N1+N2,M=(N1+N2)/2,则是平均分油问题,是分油问题的一个特例。
与一般不定方程有所不同的是,在倒油问题上,这里X和Y取正值,也可取负值。正值表示倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满,负值表示从满油小容器倒出的次数。
如果方程有多解,需要寻找一个最优解。
X和Y的绝对值越小,表明倒油的次数越少,表明是一个最优解。
有了这个解,就可以用来帮助我们完成分油过程。
中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去。
具体如何实现只需要费一点点脑筋。
(二)平均分油实例
(1)日本分油问题的不定方程是:5X+3Y=4 解为:X=2,Y=-2
 
步数      8升容器            5升容器            3升容器
0            8                       0                        0
1            3                       5(+1)             0
2            3                       2                        3(-1)
3            6                       2                        0
4            6                       0                        2
5            1                       5(+1)             2
6            1                       4                        3(-1)
7            4                       4                        0
7步完成日本分油问题。
(2)我们来解泊松分酒问题。列方程8X+5Y=6
我们得到的解为:X=2,Y=-2,这是一个最优解。
也就是从最大容器倒满8升容器2次,5升容器装满后倒出2次进入最大的容器,就会得到来两个6升。
步数      12品脱      8品脱        5品脱容器
0            12              0               0
1            4                8(+1)     0
2            4                3            5(-1)
3            9                3               0
4            9                0               3
5            1                8(+1)    3
6            1                6               5(-1)
7            6                6               0
 
由此,7步解决分油问题。
(3)韩信分油的不定方程是:7X+3Y=5;解为:X=2,Y=-3
步数      10斤      7斤           3斤油篓
0            12          0                0
1            3            7(+1)     0
2            4            4               3(-1)
3            6            4                0
4            6            1                3(-1)
5            9            1                0
6            9            0                1
7            2             7(+1)     1
8            2             5                3(-1)
9            5              5              0
 
9步完成韩信分油问题。
(4)史泰因豪斯问题的不定方程为:9X+5Y=7,解为:X=3,Y=-4
步数      14千克      9千克       5千克容器
0            14           0               0
1            5             9(+1)    0
2            5             4              5(-1)
3            10            4              0
4            10            0             4
5            1             9(+1)    4
6            1             8              5(-1)
7            6             8              0
8            6             3              5(-1)
9            11           3               0(-1)
10          11            0              3
11          2             9(+1)    3
12          2              7              5(-1)
13          7              7              0
  共13步完成分油问题
(5)别莱利曼问题的不定方程为:9X+5Y=6,解为:X=-1,Y=3
步数      12千克     9千克      5千克
0            12            0               0
1            7              0               5(+1)
2            0              7               5
3            5              7               0
4            5              2                5(+1)
5            10             2              0
6            10             0                2
7            1            9(-1)         2
8             1             6                 5(+1)
9            6             6                  0
  共9步完成分油问题
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