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一名普通得不能再普通的农村小学教师,没有什么能力,但很热爱自己的工作。总感觉——与孩子们在一起是快乐的,与家人在一起是幸福的。

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【转载】整数裂项   

2016-11-15 07:43:07|  分类: 教育园地 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自数学世界《整数裂项 》

后延减前伸   差数除以N

——例谈整数裂项

河南省太康县城关镇建南小学(461400) 师亚军

对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。

下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。

例1、  计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。

1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(1×3)

2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(1×3)

3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(1×3)

4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(1×3)

……

98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(1×3)

99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(1×3)

将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×100×101-0×1×2)÷3。

解:1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

   =(99×100×101-0×1×2)÷3

   =333300

例2、  计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101

分析:这个算式实际上也可以看作是:等差数列3、5、7、9……97、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为2,因数个数为2。

3×5=(3×5×7-1×3×5)÷(2×3)

5×7=(5×7×9-3×5×7)÷(2×3)

7×9=(7×9×11-5×7×9)÷(2×3)

……

97×99=(97×99×101-95×97×99)÷(2×3)

99×101=(99×101×103-97×99×101)÷(2×3)

将等号左右两边分别累加,左边即为所求算式,右边括号里面许多项可以相互抵消。

解:3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101

   =(99×101×103-1×3×5)÷(2×3)

   =1029882÷6

   =171647  

例3、  计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+96×97×98+97×98×99

分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为3。

    1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3)÷(1×4)

    2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4)÷(1×4)

    3×4×5=(3×4×5×6-2×3×4×5)÷(1×4)

    ……

    96×97×98=(96×97×98×99-95×96×97×98)÷(1×4)

    97×98×99=(97×98×99×100-96×97×98×99)÷(1×4)

右边累加,括号内相互抵消,整个结果为(97×98×99×100-0×1×2×3)÷(1×4)。

解:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99

   =(97×98×99×100-0×1×2×3)÷(1×4)

   =23527350

例4、  计算10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88

分析:算式的特点为:数列公差为6,因数个数为3。

解:10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88

  =(76×82×88×94-4×10×16×22)÷(6×4)

  =2147376

通过以上例题,可以看出这类算式的特点是:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘,再把所有的乘积相加。其巧解方法是:先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数,用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

将以上叙述可以概括一个口诀是:等差数列数,依次取几个。所有积之和,裂项来求作。后延减前伸,差数除以N。N取什么值,两数相乘积。公差要乘以,因个加上一。

需要注意的是:按照公差向前伸展时,当伸展数小于0时,可以取负数,当然是积为负数,减负要加正。对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来,按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外,有些算式可以先通过变形,使之符合要求,再利用裂项求解。

例5、   计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100

分析:n×n=(n-1)×n+n

解:1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100

  =1+(1×2+2)+(2×3+3)+……+(98×99+99)+(99×100+100)

  =(1×2+2×3+……+98×99+99×100)+(1+2+3+……+99+100)

  =99×100×101÷3+(1+100)×100÷2

  =333300+5050

  =338350

例6、   计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100

分析:(n-1)×n=(n-2)×n+n

解:1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100

  =2+(2×4+4)+(4×6+6)+(6×8+8)+……+(96×98+98)+(98×100+100)

  =(2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100)+(2+4+6+8+……+98+100)

  =98×100×102÷6+(2+100)×50÷2

  =169150

例7、    计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100

分析:n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n

解:1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100

   =1+(1×2×3+2)+(2×3×4+3)+……+(98×99×100+99)+(99×100×101+100)

   =(1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101)+(1+2+3+……+99+100)

   =99×100×101×102÷4+(1+100)×100÷2

  =25492400

例8、   计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101

解:1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101

  =(1×3+3×5+……+99×101)+(2×4+4×6+……+98×100)

  =(99×101×103-1×3×5)÷6+1×3+98×100×102÷6

=171650+166600

=338250

例9、   计算1+(1+2)+(1+2+3)+……+(1+2+3+4+……+100)

解:1+(1+2)+(1+2+3)+……+(1+2+3+4+……+100)

  =1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2

  =(1×2+2×3+3×4+……+100×101)÷2

  =(100×101×102÷3)÷2

  =171700

将上面的口诀继续编写是:前延比零小,取负就是了。小学不可为,首项先甩掉。平方和立方,变形再裂项。式长要转化,类比解决它。口诀需熟记,灵活靠练习。

练习题:

1、          计算1×4+4×7+7×10+……+94×97+97×100

2、          计算2×4×6+4×6×8+……+94×96×98+96×98×100

3、          计算5×5×5+6×6×6+7×7×7+……+65×65×65

4、          计算3+(3+6)+(3+6+9)+……+(3+6+9+12+……+300)

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